Гипотеза прочности мора это

Теории прочности в сопротивлении материалов.

Важнейшей задачей инженерного курса является оценка прочности детали по известному напряжённому состоянию, т.е. с учётом главных напряжений σ_x, σ_y, σ_z.

Наиболее просто эта задача решается при одноосном напряжённом состоянии.
Условие прочности при одноосном напряжённом состоянии:

В случае двухосного и трёхосного напряжённого состояния необходимо оценивать напряжённое состояние по некоторому критерию прочности, учитывающему действие всех главных напряжений, отличных от нуля.

В соответствие такому критерию устанавливается понятие эквивалентного напряжения .

Эквивалентным называется напряжение одноосного растяжения элемента материала, который равнопрочен тому же элементу при сложном напряжённом состоянии.

Основные теории прочности в сопротивлении материалов.

1.Первая теория прочности ( Гипотеза наибольших нормальных напряжений ).

Опасное состояние материала возникает, когда наибольшее по модулю нормальное напряжение достигает предельного значения соответствующего простому растяжению или сжатию.

где [σ_р] — допускаемое нормальное напряжение при одноосном растяжении; σ_с] — допускаемое нормальное напряжение при одноосном сжатии.

Эта теория дает удовлетворительные результаты лишь для некоторых хрупких материалов (бетона, камня, кирпича) и неприменима для пластичных материалов.

2.Вторая теория прочности ( Гипотеза наибольших относительных удлинений ).

В этой теории в качестве критерия разрушения принято наибольшее по модулю относительное удлинение ε.
Опасное состояние материала наступает тогда, когда наибольшее относительное удлинение достигает опасного значения.

где [σ] — допускаемое нормальное напряжение; µ — коэффициент Пуассона.

Экспериментально эта теория не подтверждается.

3.Третья теория прочности ( Гипотеза наибольших касательных напряжений ) или теория прочности Треска — Сен-Венана.

Причиной разрушения материала считается сдвиг, вызываемый касательными напряжениями. Полагают, что материал разрушается, когда наибольшее касательное напряжение достигает значения, предельного для данного материала.

Теория подтверждается для пластичных материалов, одинаково сопротивляющихся растяжению и сжатию.

4.Четвёртая теория прочности ( энергетическая теория прочности ).

Эта теория предполагает, что пластичный материал находится в опасном состоянии, когда удельная потенциальная энергия формоизменения достигает предельного для данного материала значения.

Теория подтверждается для пластичных материалов, одинаково сопротивляющихся растяжению и сжатию.

5. Теория прочности Мора (пятая гипотеза прочности).

Теория прочности Мора позволяет учесть различное сопротивление материалов растяжению и сжатию.
Например, бетон, который имеет высокую прочность на сжатие, но совершенно не может работать на растяжение.

При [σ_р] = [σ_с] теория прочности Мора совпадает с третьей теорией прочности.

Источник

Техническая механика

Сопротивление материалов

Гипотезы прочности

Понятие эквивалентного напряжения

В предыдущей статье мы рассматривали случаи сочетания основных деформаций, когда в поперечных сечениях бруса возникают только нормальные напряжения, и суммарное напряжение в каждой точке можно было рассчитать простым алгебраическим сложением. Однако часто имеют место случаи сочетания основных деформаций, при которых в поперечных сечениях возникают и нормальные, и касательные напряжения, распределенные по площади сечений неравномерно и по разным законам.
Для таких случаев опытное определение величин, характеризующих прочность, невозможно, поэтому при оценке прочности детали приходится основываться на механических характеристиках данного материала, полученных из диаграммы растяжения.

Как известно, при растяжении прочность пластичных материалов характеризуется пределом текучести, а прочность хрупких материалов – пределом прочности. Эти напряжения считаются предельными, и в зависимости от их величины вычисляют допускаемые напряжения. Для упрощения расчетов величины напряжений при сочетании деформаций вводят понятие эквивалентного (равноопасного) напряжения.

Напряженные состояния при сочетании основных деформаций и одноосном растяжении называют равноопасными или эквивалентными, если их главные напряжения отличаются от предельного для данного материала в одинаковое число раз, т. е. коэффициенты запаса прочности для эквивалентных напряжений одинаковы.
Иными словами, эквивалентным считается такое напряжение при простом одноосном растяжении, которое равноопасно данному сочетанию основных деформаций.
Таким образом, условие прочности при сочетании основных деформаций, когда в поперечных сечениях действуют и нормальные и касательные напряжения, будет иметь вид: σ_экв ≤ [σ_p] .

Формулы для определения эквивалентных напряжений, которые затем сопоставляют с предельно допускаемыми, выводят на основании гипотез прочности.

Гипотезы прочности – это научные предположения об основной причине достижения материалом предельного напряженного состояния при сочетании основных деформаций.

В настоящее время при вычислении эквивалентных напряжений используют три гипотезы прочности: гипотезу наибольших касательных напряжений (или третья гипотеза прочности), гипотезу Мора (четвертая гипотеза прочности) и энергетическую гипотезу (пятая гипотеза прочности).
Применявшиеся ранее при расчетах первая (гипотеза Галилея) и вторая (гипотеза Мариотта-Сен-Венана) гипотезы прочности, основанные соответственно на наибольших нормальных напряжениях и линейных деформациях, в настоящее время не используются, поскольку плохо подтверждаются опытами.

Рассмотрим подробнее суть каждой из перечисленных гипотез прочности.

Третья теория прочности

Гипотеза наибольших касательных напряжений

Согласно этой гипотезе, предложенной в конце XVIII в., опасное состояние материала наступает тогда, когда наибольшие касательные напряжения достигают предельной величины.

Если рассмотреть элементарную площадку в наклонном сечении продольно растягиваемого бруса, то при помощи простых геометрических выкладок можно убедиться, что касательное напряжение в такой площадке достигает максимальной величины, когда сечение располагается под углом 45˚ к оси бруса. При этом величина касательного напряжения будет равна половине разности между максимальным и минимальным нормальным напряжением:

В частном случае, если σ_min = 0 , то τ_max = σ_max/2 .

Чтобы вывести формулу для вычисления эквивалентных напряжений по третьей теории прочности, рассмотрим брус, у которого в поперечном сечении действуют нормальные σ и касательные τ напряжения (см. рисунок) .

Внутри бруса вблизи от произвольной точки В вырежем бесконечно малую призму abc , у которой грань ab совпадает с поперечным, грань ac – с продольным сечениями, а грань bc является главной площадкой, на которой действует главное напряжение σ₀ .
Согласно закону парности касательных напряжений в грани ac призмы также будут действовать касательные напряжения τ .
Поскольку в продольном сечении бруса нормальных напряжений нет, то здесь мы имеем дело со случаем плоского напряженного состояния, который называют упрощенным.

Рассмотрим равновесие призмы abc , для чего спроецируем все действующие на нее силы на оси z и y . Площадь грани bc обозначим dA (элементарная площадка). Тогда:

Σ Z = 0; σ₀ dAsinφ — τ dA cosφ — σ dA sinφ = 0
Σ Y = 0; σ₀ dA cosφ — τ dA sinφ = 0 .

Разделив обе части равенства на dA , получим:

(σ₀ – σ) sinφ = τ cosφ; σ₀ cosφ = τ sinφ .

Оба равенства разделим на cosφ и, исключив из них tgφ , получим выражение:

τ / (σ₀ — σ) = σ₀ / τ , что равнозначно квадратному уравнению σ₀ 2 — σ₀σ – τ 2 = 0 .

Решая это уравнение, получим:

σ₀ = σ/2 ± 1/2 √(σ 2 + 4τ 2 ) .

(Здесь и далее знак √ обозначает квадратный корень).

Таким образом, главные напряжения в наклонных площадках в зонах точки А бруса определяют по формулам:

σ_max = σ/2 + 1/2 √(σ 2 + 4τ 2 ) σ_min = σ/2 — 1/2 √(σ 2 + 4τ 2 ) .

Следовательно, исходя из формулы (1) , максимальные касательные напряжения можно найти по формуле:

Поскольку τ_пред = σ_пред/2 , а эквивалентное напряжение не должно превышать предельного, то, применяя гипотезу наибольших касательных напряжений, имеем:

В результате мы получили формулу для вычисления эквивалентных напряжений:

Гипотеза наибольших касательных напряжений хорошо подтверждается опытами, в особенности для пластичных материалов.

Четвертая теория прочности

Гипотеза Мора

Большой вклад в разработке методов определения напряжений при сложном напряженном состоянии внес немецкий ученый Кристиан Отто Мор (Christian Otto Mohr, 1835-1918 г.г.) .
Заслуги К.О.Мора в науке сопротивление материалов трудно переоценить — он является создателем одной из теорий прочности (теория прочности Мора), графических методов определения напряжений при сложном напряжённом состоянии (круг Мора).
Мор впервые применил расчёт конструкций на невыгодное загружение с помощью так называемых линий влияния, создал теорию расчёта статически неопределимых систем методом сил. Этот ученый разработал также метод расчёта неразрезных балок с помощью уравнений трех моментов, предложил графический метод построения упругой линии в простых и неразрезных балках.

Гипотеза Мора, предложенная им в начале XX века может быть сформулирована так:
Опасное состояние материала наступает тогда, когда на некоторой площадке осуществляется наиболее неблагоприятная комбинация нормального и касательного напряжений.

По сути, это усовершенствованная и обобщенная гипотеза наибольших касательных напряжений, рассмотренная ранее, тем не менее, она дает возможность определять эквивалентные напряжения в балках с меньшей степенью погрешности и применима при расчетах на прочность как пластичных, так и хрупких материалов.

Формула для вычисления эквивалентных напряжений, согласно гипотезе Мора имеет вид:

σ_экв = σ(1 – k)/2 + 1/2 (1 + k) √(σ 2 + 4τ 2 ) ,

Очевидно, что при k = 1 формула Мора тождественна формуле третьей теории прочности (гипотезе наибольших касательных напряжений).

Пятая, или энергетическая теория прочности

Энергетическая гипотеза

При деформации элементарной частицы тела в общем случае изменяются ее форма и объем. Таким образом, полная потенциальная энергия деформации состоит из двух частей: энергии формоизменения и энергии изменения объема.
Энергетическая гипотеза прочности, предложенная в начале XX века в качестве критерия перехода материала в предельное состояние принимает только энергию формоизменения.

Согласно этой гипотезе, опасное состояние материала в данной точке наступает тогда, когда удельная потенциальная энергия формоизменения для этой точки достигает предельной величины.

Формула для вычисления эквивалентных напряжений в соответствии с пятой (энергетической) теорией прочности имеет вид:

Эта формула хорошо подтверждается опытным путем для пластичных материалов и получила широкое распространение.

Следует отметить, что во всех приведенных выше формулах σ и τ — нормальные и касательные напряжения на площадке поперечного сечения, проходящего через опасную или предположительно опасную точку.

Источник

Сопромат .in.ua

изучаем сопротивление материалов

Теория прочности Мора

Теория прочности Мора 1 в отличие от изложенных не содержит критериальной гипотезы и состоит в установлении определенной зависимости прочностных свойств материала от вида его напряженного состояния. За характеристики напряженного состояния в общем случае принимается наибольшее касательное напряжение и нормальное, действующее на той площадке, на которой действует это касательное. Условие наступления текучести определяется огибающей больших кругов напряжений (кругов Мора) для предельных напряженных состояний. При этом влияние среднего напряжения σ₂ не учитывается. Текучесть наступает тогда, когда большой круг напряжений для рассматриваемого напряженного состояния коснется этой огибающей (см рис.).

Приведенные напряжения для материалов с одинаковым пределом текучести при растяжении и сжатии в случае объемного напряженного состояния записываются так:

$$ \sigma_ <пр>= \sigma_ <1>– a\cdot\sigma_ <3>$$

Для хрупких материалов с различным сопротивлением растяжению и сжатию
условие разрушения определяется по теории Мора огибающей предельных кругов напряжений, соответствующих разрушению (рис. б). В этом случае приведенные напряжения при объемном напряженном состоянии;
$$ \sigma_ <пр>= b\cdot\sigma_ <1>– \sigma_ <3>$$

где [math]b = \frac<\sigma_<т.сж.>><\sigma_<т>> [/math] при текучести и [math] b = \frac<\sigma_<в.сж.>><\sigma_<в>> [/math] при разрушении.
a и b определяются по кругам Мора (см. рис).

Условие прочности по теории Мора имеет следующий вид:

Теория прочности Мора является наиболее полной, точной из наиболее известных теорий прочности в сопротивлении материалов. Все её положения были проверены экспериментально. Она подходит как для проверки прочности хрупких материалов (чугун, бетон, кирпич), так и для проверки на прочность пластичных материалов (низкоуглеродистая сталь). Её иногда называют V теорий прочности

Ссылки по теме

Источник

1 Мор Христиан Отто (8.10.1835 — 3.10.1918), немецкий учёный в области строительной механики и сопротивления материалов.

Источник