Интеграл мора формула симпсона

7.5. Вычисление интегралов Мора по способу Симпсона

Применение метода Мора, как мы уже сумели убедиться, требует вычисления интегралов в процессе определения перемещений. В большинстве случаев при наличии большого числа участков, на которые приходится делить конструкцию, решение становится громоздким. Поэтому в практике расчетов предпочитают иметь дело с графо-аналитическими методами, позволяющими исключить интегрирование из процесса определения перемещений. Такие методы бывают не всегда точны и универсальны, но их простота и доступность делает их весьма популярными. К числу таких методов относится метод Мора-Симпсона. Еще в XVIII веке английским математиком Томасом Симпсоном было предложено вычислять интегралы графическим методом, исходя из того, что интеграл представляет в пределе сумму бесконечно малых величин. Симпсон предложил разбивать площадь фигуры, образовавшуюся под кривой подинтегральной функции, на узкие полоски и суммировать площади этих полосок. Им были сформулированы соответствующие рекомендации и предложены различные формулы, позволяющие упорядочить процесс подобного интегрирования. Сложность этих формул зависела от сложности подинтегрального выражения. В большинстве случаев предложенный им подход к интегрированию дает погрешности, но существуют такие функции, интегрирование которых по способу Симпсона дает точное решение. Речь идет о гладких унимодальных функциях, порядок которых не превышает трех.

Исследуя функции, входящие в формулу Мора, можно сделать вывод, что функции изгибающих моментов, составленных для единичных состояний всегда линейны. При действии на балку распределенной нагрузки постоянной интенсивности изгибающий момент описывается кривой второго порядка. При перемножении этих функций под интегралом Мора мы получаем кривую третьего порядка. Это означает, что, если ограничить класс решаемых задач балками и рамами, нагруженными сосредоточенными силами и распределенной нагрузкой постоянной интенсивности, то при использовании для определения перемещений метода Мора-Симпсона можно получать точное решение.

Рассмотрим интегрирование по способу Симпсона функции, описываемой кубической параболой, приведенной на рис.7.10.

Формула, которой предлагается пользоваться в этом случае, имеет вид:

. (7.32)

На рис 7.11 приведены грузовая (а) и единичная (б) эпюры изгибающих моментов для одного участка.

Буквами А, С и В обозначены изгибающие моменты на левом конце участка, посредине и на правом конце участка на грузовой эпюре. Буквами а, c и b обозначены изгибающие моменты на левом конце участка, посредине и на правом конце участка на единичной эпюре.

Интеграл Мора для одного участка имеет вид:

. (7.33)

Произведение моментов под интегралом обозначим:

. (7.34)

Применяя формулу Симпсона к интегралу Мора после соответствующих замен и подстановок, получим:

.

При решении задач с несколькими участками формула Мора-Симпсона принимает вид:

. (7.35)

В том случае, если обе эпюры изгибающих моментов, грузовая и единичная, меняются по линейному закону и представляют собой на каждом из участков трапеции, можно исключить средние значения моментов и, учитывая, что они могут быть вычислены из выражений:

; .

Подставляя эти значения в формулу (7.35), получаем формулу трапеций:

(7.36)

Если обе эпюры представляют собой прямоугольники или треугольники, удобно пользоваться формулой, которая легко получается из формулы (7.35):

(7.37)

Формула (7.37) получила название формулы треугольников. Здесь  коэффициент, величина которого зависит от вида перемножаемых эпюр (Таблица 7.1);  самый большой изгибающий момент на грузовой эпюре;  самый большой изгибающий момент на единичной эпюре;  длина участка. В таблице 7.1 приводятся значения коэффициентов .

Значение коэффициента

Вид эпюры

Вид эпюры

Метод Мора-Симпсона называют методом перемножения эпюр. Рассмотрим порядок решения задач методом Мора-Симпсона.

1. Разбиваем балку на участки и на каждом участке проставляем по три характерных сечения: на левом конце, посредине и на правом конце участка.

2. Вычисляем значения грузовых моментов в каждом из характерных сечений и строим эпюру грузовых изгибающих моментов .

3. Изображаем единичное состояние системы, прикладывая в том сечении, где следует определить перемещение, соответствующую единичную обобщенную силу: при определении прогиба прикладывают сосредоточенную единичную силу; при определении угла поворота прикладывают сосредоточенную единичную пару сил.

4. Вычисляем значения единичных моментов в характерных сечениях и строим эпюру единичных моментов . Эпюр единичных моментов строим столько, сколько следует определить перемещений.

5. Подставляем вычисленные значения грузовых и единичных изгибающих моментов в формулу Мора-Симпсона и вычисляем перемещения.

6. Знак перемещения будет положительным, если искомое перемещение совпадает с направлением соответствующей обобщенной единичной силы. Если направление перемещения и направление обобщенной единичной силы не совпадают, знак перемещения будет отрицательным.

Рассмотрим несколько примеров определения перемещений в стержневых системах по методу Мора-Симпсона.

Пример 7.5.Используя метод Мора-Симпсона, определить угол поворота в сечении В изображенной на рис.7.12,а балки, если жесткость поперечного сечения балкикНм 2 .

1. Балка (Рис.7.12,а) содержит один участок. Проставляем характерные сечения и вычисляем в каждом из них грузовые моменты. Значения моментов в характерных сечениях проставлены на рис.7.12,б. Опорные реакции в данной задаче можно не определять, изгибающие моменты можно определить, производя вычисления справа.

2. Строим эпюру грузовых изгибающих моментов .

3. Изображаем единичное состояние балки, прикладывая в сечении В единичный момент (Рис.7.12,в). Находим величины единичных изгибающих моментов в характерных сечениях. Значения этих моментов проставлены на рис.7.12,г.

Строим эпюру единичных изгибающих моментов (Рис.7.12,г).

5. Подставляя найденные значения грузовых и единичных изгибающих моментов в формулу Мора-Симпсона (7.35), находим угол поворота сечения В:

рад.

Пример 7.6.Определить вертикальное и горизонтальное перемещения сечения В рамы, изображенной на рис.7.13,а, если жесткость поперечного сечения рамыкНм 2 .

1. Разбиваем раму на участки, расставляем характерные сечения и выбираем точку наблюдения (Рис.7.13,а).

2. Определяем грузовые моменты в характерных сечениях и строим эпюру грузовых изгибающих моментов (Рис.7.13,б).

3. Изображаем первое единичное состояние (Рис.7.13,в), определяем моменты в характерных сечениях и строим эпюру единичных изгибающих моментов (Рис.7.13,г).

4. Изображаем второе единичное состояние (Рис.7.13,д), определяем моменты в характерных сечениях и строим эпюру единичных изгибающих моментов (Рис.7.13,е).

5. Находим вертикальное перемещения узла В, перемножая эпюры изгибающих моментов и. Поскольку обе эпюры изгибающих моментов являются линейными, при перемножении эпюр воспользуемся формулами трапеций (7.36) и треугольников (7.37). На участке №1 будем перемножать эпюры с помощью формулы трапеций, на участках №2 и №3 – с помощью формулы треугольников:

ммм.

Перемещение получилось положительным. Это означает, что направление перемещения совпадает с направлением единичной силы .

6. Находим горизонтальное перемещение узла В, перемножая эпюры изгибающих моментов и. Так же, как и в предыдущем пункте будем использовать при перемножении эпюр формулы трапеций и треугольников:

ммм.

Горизонтальное перемещение оказалось отрицательным. Это означает, что узел В в горизонтальном направлении перемещается не влево, куда изначально была направлена единичная сила, а вправо, что соответствует физическому смыслу задачи.

Источник

ПроСопромат.ру

Технический портал, посвященный Сопромату и истории его создания

Определение перемещений. Метод О. Мора в сочетании со способом (формулой) Симпсона

Для определения любого перемещения (линейного или углового) в методе Мора балка рассматривается в двух состояниях: действительном и вспомогательном. Вспомогательное состояние получается следующим образом: сначала всю заданную нагрузку нужно удалить, затем приложить «единичный силовой фактор» в том месте, где требуется определить перемещение, и по направлению этого искомого перемещения. Причем, когда определяем линейное перемещение (прогиб балки), то в качестве «единичного силового фактора» принимается сосредоточенная сила , а если требуется найти угол поворота, то приложить следует сосредоточенную пару .

Далее в одном и том же произвольном сечении обоих состояний (то есть и действительного, и вспомогательного) составляются аналитические выражения изгибающего момента, которые подставляются в формулу, называемую «интегралом Мора»:

где: знак Σ распространяется на все участки балки,

а EI – изгибная жесткость на участке.

Во многих случаях интегрирования по Мору можно избежать и применить способ «перемножения» эпюр. Одним из таких способов является способ Симпсона, по которому значение интеграла Мора на участке длиной ℓ вычисляется по следующей формуле:

Здесь обозначено: a, b и с – соответственно крайние и средняя ординаты эпюры изгибающих моментов действительного состояния М,

— крайние и средняя ординаты эпюры изгибающих моментов, но только вспомогательного состояния .

Правило знаков: если обе «перемножаемые» ординаты в двух эпюрах расположены по одну сторону от оси эпюры (то есть они одного знака), то перед их произведением мы должны поставить знак «плюс: а если они по разные стороны от оси эпюры, то перед произведением ставим знак «минус».

Следует иметь в виду, что способы «перемножения» эпюр (кроме способа Симпсона известен еще способ Верещагина) применимы только при наличии двух условий:

1. Изгибная жесткость балки на рассматриваемом участке должна быть постоянной (EI=Const),
2. Одна из двух эпюр моментов на этом участке должна быть обязательно линейной. При этом обе эпюры не должны в пределах данного участка иметь перелома.

При наличии нескольких участков на балке, удовлетворяющих указанным двум условиям, формула для определения перемещений принимает вид:

Если результат вычисления получается положительным, то, следовательно, направление искомого перемещения совпадает с направлением «единичного силового фактора» ( ), а если результат отрицательный, значит искомое перемещение происходит в направлении, противоположном этому фактору.

Формула Симпсона, записанная через моменты, выглядит следующим образом: перемещения (прогиб или угол поворота) равны

где li – длина участка;

EIi – жесткость балки на участке;

M_F – значения изгибающих моментов с грузовой эпюры, соответственно в начале, в середине и в конце участка;

– значения изгибающих моментов с единичной эпюры, соответственно в начале, в середине и в конце участка.

При перемножении эпюр будет полезным для определения ординат эпюр изгибающих моментов:

Задача

Определить угол поворота сечения на левой опоре φ_А

1) Находим опорные реакции действительного состояния .

2) Строим эпюру моментов действительного состояния М.

3) Выбираем вспомогательное состояние для определения угла поворота φ_А.

4) Находим опорные реакции вспомогательного состояния

«Реагируем» на знак «минус».

5) Строим эпюру моментов вспомогательного состояния:

6) «Перемножаем» эпюры

Поскольку одна из них (а именно ) линейна на всем пролете и не имеет перелома, а эпюра М тоже без перелома, то в формуле Симпсона будет всего один участок, и тогда

Знак «плюс» говорит о том, что сечение А поворачивается в сторону «единичного момента»

Источник