Интеграл мора способы его вычисления

ПроСопромат.ру

Технический портал, посвященный Сопромату и истории его создания

Интеграл Мора

Для решения вопросов жесткости элементов требуется определять перемещения (линейные, угловые). Существуют несколько способов определения перемещений, одним из которых является определение перемещений по интегралу Мора.

Алгоритм вычисления перемещений по интегралу (формуле) Мора:

1. Составляем выражение изгибающего момента M_F от действующей нагрузки.

2. Снимаем с балки (рамы, фермы и т.д.) все нагрузки, и в точке, где необходимо определить перемещение, прикладываем единичную силу (если определяем линейное перемещение) либо единичный момент (если определяем угловое перемещение) по направлению искомого перемещения. Составляем выражение изгибающего момента от единичного фактора.

3. Подставляем выражения моментов в интеграл Мора:

где: Δ — перемещение в общем виде, знак Σ распространяется на все участки балки; EI – изгибная жесткость на участке.

Источник

ПроСопромат.ру

Технический портал, посвященный Сопромату и истории его создания

Определение перемещений. Метод О. Мора в сочетании со способом (формулой) Симпсона

Для определения любого перемещения (линейного или углового) в методе Мора балка рассматривается в двух состояниях: действительном и вспомогательном. Вспомогательное состояние получается следующим образом: сначала всю заданную нагрузку нужно удалить, затем приложить «единичный силовой фактор» в том месте, где требуется определить перемещение, и по направлению этого искомого перемещения. Причем, когда определяем линейное перемещение (прогиб балки), то в качестве «единичного силового фактора» принимается сосредоточенная сила , а если требуется найти угол поворота, то приложить следует сосредоточенную пару .

Далее в одном и том же произвольном сечении обоих состояний (то есть и действительного, и вспомогательного) составляются аналитические выражения изгибающего момента, которые подставляются в формулу, называемую «интегралом Мора»:

где: знак Σ распространяется на все участки балки,

а EI – изгибная жесткость на участке.

Во многих случаях интегрирования по Мору можно избежать и применить способ «перемножения» эпюр. Одним из таких способов является способ Симпсона, по которому значение интеграла Мора на участке длиной ℓ вычисляется по следующей формуле:

Здесь обозначено: a, b и с – соответственно крайние и средняя ординаты эпюры изгибающих моментов действительного состояния М,

— крайние и средняя ординаты эпюры изгибающих моментов, но только вспомогательного состояния .

Правило знаков: если обе «перемножаемые» ординаты в двух эпюрах расположены по одну сторону от оси эпюры (то есть они одного знака), то перед их произведением мы должны поставить знак «плюс: а если они по разные стороны от оси эпюры, то перед произведением ставим знак «минус».

Следует иметь в виду, что способы «перемножения» эпюр (кроме способа Симпсона известен еще способ Верещагина) применимы только при наличии двух условий:

1. Изгибная жесткость балки на рассматриваемом участке должна быть постоянной (EI=Const),
2. Одна из двух эпюр моментов на этом участке должна быть обязательно линейной. При этом обе эпюры не должны в пределах данного участка иметь перелома.

При наличии нескольких участков на балке, удовлетворяющих указанным двум условиям, формула для определения перемещений принимает вид:

Если результат вычисления получается положительным, то, следовательно, направление искомого перемещения совпадает с направлением «единичного силового фактора» ( ), а если результат отрицательный, значит искомое перемещение происходит в направлении, противоположном этому фактору.

Формула Симпсона, записанная через моменты, выглядит следующим образом: перемещения (прогиб или угол поворота) равны

где li – длина участка;

EIi – жесткость балки на участке;

M_F – значения изгибающих моментов с грузовой эпюры, соответственно в начале, в середине и в конце участка;

– значения изгибающих моментов с единичной эпюры, соответственно в начале, в середине и в конце участка.

При перемножении эпюр будет полезным для определения ординат эпюр изгибающих моментов:

Задача

Определить угол поворота сечения на левой опоре φ_А

1) Находим опорные реакции действительного состояния .

2) Строим эпюру моментов действительного состояния М.

3) Выбираем вспомогательное состояние для определения угла поворота φ_А.

4) Находим опорные реакции вспомогательного состояния

«Реагируем» на знак «минус».

5) Строим эпюру моментов вспомогательного состояния:

6) «Перемножаем» эпюры

Поскольку одна из них (а именно ) линейна на всем пролете и не имеет перелома, а эпюра М тоже без перелома, то в формуле Симпсона будет всего один участок, и тогда

Знак «плюс» говорит о том, что сечение А поворачивается в сторону «единичного момента»

Источник

ПОЛУЧЕНИЕ ФОРМУЛЫ ИНТЕГРАЛА МОРА

Рассмотрим балку, изображенную на рис. 15.6, а. Обозначим и , соответственно, изгибающий момент и поперечную силу, возникающие в заданной балке от действующей на нее группы нагрузок P. Пусть требуется определить прогиб балки ( ) в точке K.

Введем в рассмотрение вспомогательную балку (та же балка, но нагруженная только единичной силой либо единичным изгибающим моментом). Нагрузим ее только одной силой (рис. 15.6, б). Единичную силу приложим в точке K, где нужно определить прогиб.

Внутренние усилия, возникающие во вспомогательной балке, обозначим и .

Воспользуемся теперь теоремой о взаимности работ, согласно которой работа внешних сил, приложенных к вспомогательной балке на соответствующих перемещениях заданной балки равна взятой с обратным знаком работе внутренних сил заданной балки на соответствующих перемещениях вспомогательной балки. Тогда .

При определении перемещений в балке, как правило, можно пренебрегать влиянием поперечной силы, ( не учитывать второе слагаемое).

Тогда, учитывая, что , окончательно получим формулу интеграла Мора: .

Определение перемещений по формуле интеграла Мора часто называют определением перемещений методом Мора, а саму формулу – интегралом Мора.

Входящие в интеграл Мора изгибающие моменты берутся в произвольном поперечном сечении и поэтому представляют собой аналитические функции от текущей координаты z.

Заметим, что если мы хотим в этой же точке K определить угол поворота поперечного сечения ( ), то нам необходимо к вспомогательной балке приложить не единичную силу, а единичный момент (рис. 15.6, в).

Недостатком метода Мора является необходимость получать значения внутренних силовых факторов, входящих в подинтегральные выражения формул (2.18) и (2.19), в общем виде, как функций от z, что становится достаточно трудоемким уже при двух – трех участках разбиения в балках и особенно – в рамах.

Оказывается, что от этого недостатка можно уйти, если непосредственное интегрирование в формулах Мора заменить так называемым перемножением эпюр. Такая замена возможна в тех случаях, когда хотя бы одна из перемножаемых эпюр является прямолинейной. Этому условию соответствуют все системы, состоящие из прямолинейных стержней. Действительно, в таких системах эпюра, построенная от обобщенной единичной силы, всегда будет прямолинейной.

Способ вычисления интеграла Мора путем замены непосредственного интегрирования перемножением соответствующих эпюр называется способом (или правилом) Верещагина и заключается в следующем: чтобы перемножить две эпюры, из которых хотя бы одна является прямолинейной, нужно площадь одной эпюры (если есть криволинейная эпюра, то обязательно ее площадь) умножить на ординату другой эпюры, расположенную под центром тяжести первой.

Докажем справедливость этого правила. Рассмотрим две эпюры (рис.28). Пусть одна из них (Mn) является грузовой и имеет криволинейное очертание, а вторая соответствует единичной нагрузке и является линейной.

Из рис.28 следует, что Подставим значения в выражение

где — дифференциал площади эпюры Mn.

Рис. 28

Интеграл представляет собой статический момент площади относительно оси О – О1, при этом:

где zc – абсцисса центра тяжести площади , тогда:

Учитывая, что получим:
(2.20)
Выражение (2.20) определяет результат перемножения двух эпюр, а не перемещения. Чтобы получить перемещение, этот результат нужно разделить на жесткость, соответствующую внутренним силовым факторам, стоящим под знаком интеграла.

17.6. Способ Верещагина При исследовании изгиба стержневых систем оказывается удобным для определения пе- ремещений использовать графо-аналитический метод, предложенный А. Н. Верещаги- ным (1924). Так как при определении линейных или угловых перемещений единичная на- грузка будет представлять собой либо силу, либо момент, то эпюра внутрен- него изгибающего момента для единичной системы всегда будет ограничена прямыми линиями. В этом случае интеграл Мора можно вычислить следую- щим образом. Пусть «грузовая» эпюра MP имеет криволиней- ное очертание, а «единичная» эпюра M1 пред- ставляет собой наклонную прямую (с углом наклона α). На «грузовой» эпюре MP на рас- стоянии x от начала координат выделим эле- мент шириной dx. Площадь этого элемента, очевидно, равна dA=MP·dx. «Единичный» мо- мент M1, соответствующий координате x, мож- но найти через тангенс угла α: 1 M x = ⋅ α tg . Запишем теперь интеграл Мора и подставим в него найденные соотношения: 1 MP ⋅ ⋅ M dx = dA⋅ x ⋅ tg α =tg α⋅ x ⋅ dA ∫ ∫ ∫ . (17.9) Выражение под знаком последнего интеграла есть ничто иное, как статиче- ский момент «грузовой» эпюры относительно оси Oy ∫ Sy = x ⋅ dA. С другой стороны, статический момент можно найти как произведение пло- щади на координату центра тяжести «грузовой» эпюры Sy = xC ⋅ A. В этом случае интеграл (17.9) можно переписать так: 1 M M P C ⋅ ⋅ = dx A⋅ x ⋅ tg ∫ α. Произведение tg Cx ⋅ α представляет собой величину единичного момента в точке с координатой xC: 26 1 tg M x C = C ⋅ α. Таким образом, выражение для определения перемещения балки при изгибе по методу Верещагина запишем в следующем виде: ∑ ⋅ ⋅ ∆ = n E J A M C ос 1 , (17.10) где А – площадь «грузовой» эпюры MP на данном участке; – величина «единичного» момента под центром тяжести «грузовой» эпюры на данном участке. M1C Для удобства использования выражения (17.10) запишем формулы для определения площади и координаты центра тяжести для некоторых характерных эпюр: а) прямоугольник – А=h·l, xC=l/2; б) треугольник – А=h·l/2, xC=l/3; в) вогнутая парабола – А=h·l/3, xC=l/4; г) выпуклая парабола – А=2·h·l/3, xC=3·l/8; д) полная парабола – А=2·h·l/3, xC=l/2. В качестве примера рассмотрим консольную балку длиной l, нагру- женную на конце силой F. Определим прогиб свободного края балки. Проанализируем две системы грузо- вую, – нагруженную только силой F, и единичную, – нагруженную единичной силой в направлении искомого пере- мещения. Построим для каждой из систем эпюру внутреннего изгибающего момента (MP и M1). Площадь «грузовой» эпюры найдем как A=F·l·l/2. Значение «единичного» момента под центром тяжести «грузовой» эпюры определим из пропорции 2 3. 1 M l C = ⋅ Тогда искомое перемещение z A z E J F l y E J F l ⋅ ⋅ ⋅ ⇒ = ⋅ ⋅ ⋅ 3 3 3 z E J A M C = ⋅ ⋅ ∆ = 3 1 . Знак «плюс» показывает, что направление перемещения совпадает с направлением единичной силы

Источник