ПроСопромат.ру
Технический портал, посвященный Сопромату и истории его создания
Интеграл Мора
Для решения вопросов жесткости элементов требуется определять перемещения (линейные, угловые). Существуют несколько способов определения перемещений, одним из которых является определение перемещений по интегралу Мора.
Алгоритм вычисления перемещений по интегралу (формуле) Мора:
1. Составляем выражение изгибающего момента MF от действующей нагрузки.
2. Снимаем с балки (рамы, фермы и т.д.) все нагрузки, и в точке, где необходимо определить перемещение, прикладываем единичную силу 
(если определяем линейное перемещение) либо единичный момент 
(если определяем угловое перемещение) по направлению искомого перемещения. Составляем выражение изгибающего момента 
от единичного фактора.
3. Подставляем выражения моментов в интеграл Мора:
где: Δ — перемещение в общем виде, знак Σ распространяется на все участки балки; EI – изгибная жесткость на участке.
Источник
7.5. Вычисление интегралов Мора по способу Симпсона
Применение метода Мора, как мы уже сумели убедиться, требует вычисления интегралов в процессе определения перемещений. В большинстве случаев при наличии большого числа участков, на которые приходится делить конструкцию, решение становится громоздким. Поэтому в практике расчетов предпочитают иметь дело с графо-аналитическими методами, позволяющими исключить интегрирование из процесса определения перемещений. Такие методы бывают не всегда точны и универсальны, но их простота и доступность делает их весьма популярными. К числу таких методов относится метод Мора-Симпсона. Еще в XVIII веке английским математиком Томасом Симпсоном было предложено вычислять интегралы графическим методом, исходя из того, что интеграл представляет в пределе сумму бесконечно малых величин. Симпсон предложил разбивать площадь фигуры, образовавшуюся под кривой подинтегральной функции, на узкие полоски и суммировать площади этих полосок. Им были сформулированы соответствующие рекомендации и предложены различные формулы, позволяющие упорядочить процесс подобного интегрирования. Сложность этих формул зависела от сложности подинтегрального выражения. В большинстве случаев предложенный им подход к интегрированию дает погрешности, но существуют такие функции, интегрирование которых по способу Симпсона дает точное решение. Речь идет о гладких унимодальных функциях, порядок которых не превышает трех.
Исследуя функции, входящие в формулу Мора, можно сделать вывод, что функции изгибающих моментов, составленных для единичных состояний всегда линейны. При действии на балку распределенной нагрузки постоянной интенсивности изгибающий момент описывается кривой второго порядка. При перемножении этих функций под интегралом Мора мы получаем кривую третьего порядка. Это означает, что, если ограничить класс решаемых задач балками и рамами, нагруженными сосредоточенными силами и распределенной нагрузкой постоянной интенсивности, то при использовании для определения перемещений метода Мора-Симпсона можно получать точное решение.
Рассмотрим интегрирование по способу Симпсона функции, описываемой кубической параболой, приведенной на рис.7.10.
Формула, которой предлагается пользоваться в этом случае, имеет вид:
. (7.32)
На рис 7.11 приведены грузовая (а) и единичная (б) эпюры изгибающих моментов для одного участка.
Буквами А, С и В обозначены изгибающие моменты на левом конце участка, посредине и на правом конце участка на грузовой эпюре. Буквами а, c и b обозначены изгибающие моменты на левом конце участка, посредине и на правом конце участка на единичной эпюре.
Интеграл Мора для одного участка имеет вид:
. (7.33)
Произведение моментов под интегралом обозначим:
. (7.34)
Применяя формулу Симпсона к интегралу Мора после соответствующих замен и подстановок, получим:
.
При решении задач с несколькими участками формула Мора-Симпсона принимает вид:
. (7.35)
В том случае, если обе эпюры изгибающих моментов, грузовая и единичная, меняются по линейному закону и представляют собой на каждом из участков трапеции, можно исключить средние значения моментов 
и
, учитывая, что они могут быть вычислены из выражений:
; 
.
Подставляя эти значения в формулу (7.35), получаем формулу трапеций:
(7.36)
Если обе эпюры представляют собой прямоугольники или треугольники, удобно пользоваться формулой, которая легко получается из формулы (7.35):
(7.37)
Формула (7.37) получила название формулы треугольников. Здесь 
коэффициент, величина которого зависит от вида перемножаемых эпюр (Таблица 7.1); 
самый большой изгибающий момент на грузовой эпюре; 
самый большой изгибающий момент на единичной эпюре; 
длина участка. В таблице 7.1 приводятся значения коэффициентов 
.
Значение коэффициента 
Вид эпюры 
Вид эпюры 
Метод Мора-Симпсона называют методом перемножения эпюр. Рассмотрим порядок решения задач методом Мора-Симпсона.
1. Разбиваем балку на участки и на каждом участке проставляем по три характерных сечения: на левом конце, посредине и на правом конце участка.
2. Вычисляем значения грузовых моментов в каждом из характерных сечений и строим эпюру грузовых изгибающих моментов 
.
3. Изображаем единичное состояние системы, прикладывая в том сечении, где следует определить перемещение, соответствующую единичную обобщенную силу: при определении прогиба прикладывают сосредоточенную единичную силу; при определении угла поворота прикладывают сосредоточенную единичную пару сил.
4. Вычисляем значения единичных моментов в характерных сечениях и строим эпюру единичных моментов 
. Эпюр единичных моментов строим столько, сколько следует определить перемещений.
5. Подставляем вычисленные значения грузовых и единичных изгибающих моментов в формулу Мора-Симпсона и вычисляем перемещения.
6. Знак перемещения будет положительным, если искомое перемещение совпадает с направлением соответствующей обобщенной единичной силы. Если направление перемещения и направление обобщенной единичной силы не совпадают, знак перемещения будет отрицательным.
Рассмотрим несколько примеров определения перемещений в стержневых системах по методу Мора-Симпсона.
Пример 7.5.Используя метод Мора-Симпсона, определить угол поворота в сечении В изображенной на рис.7.12,а балки, если жесткость поперечного сечения балки
кНм 2 .
1. Балка (Рис.7.12,а) содержит один участок. Проставляем характерные сечения и вычисляем в каждом из них грузовые моменты. Значения моментов в характерных сечениях проставлены на рис.7.12,б. Опорные реакции в данной задаче можно не определять, изгибающие моменты можно определить, производя вычисления справа.
2. Строим эпюру грузовых изгибающих моментов 
.
3. Изображаем единичное состояние балки, прикладывая в сечении В единичный момент 
(Рис.7.12,в). Находим величины единичных изгибающих моментов в характерных сечениях. Значения этих моментов проставлены на рис.7.12,г.
Строим эпюру единичных изгибающих моментов (Рис.7.12,г).
5. Подставляя найденные значения грузовых и единичных изгибающих моментов в формулу Мора-Симпсона (7.35), находим угол поворота сечения В:
рад.
Пример 7.6.Определить вертикальное и горизонтальное перемещения сечения В рамы, изображенной на рис.7.13,а, если жесткость поперечного сечения рамы
кНм 2 .
1. Разбиваем раму на участки, расставляем характерные сечения и выбираем точку наблюдения (Рис.7.13,а).
2. Определяем грузовые моменты в характерных сечениях и строим эпюру грузовых изгибающих моментов (Рис.7.13,б).
3. Изображаем первое единичное состояние (Рис.7.13,в), определяем моменты в характерных сечениях и строим эпюру единичных изгибающих моментов (Рис.7.13,г).
4. Изображаем второе единичное состояние (Рис.7.13,д), определяем моменты в характерных сечениях и строим эпюру единичных изгибающих моментов (Рис.7.13,е).
5. Находим вертикальное перемещения узла В, перемножая эпюры изгибающих моментов 
и
. Поскольку обе эпюры изгибающих моментов являются линейными, при перемножении эпюр воспользуемся формулами трапеций (7.36) и треугольников (7.37). На участке №1 будем перемножать эпюры с помощью формулы трапеций, на участках №2 и №3 – с помощью формулы треугольников:
м
мм.
Перемещение получилось положительным. Это означает, что направление перемещения совпадает с направлением единичной силы 
.
6. Находим горизонтальное перемещение узла В, перемножая эпюры изгибающих моментов 
и
. Так же, как и в предыдущем пункте будем использовать при перемножении эпюр формулы трапеций и треугольников:
м
мм.
Горизонтальное перемещение 
оказалось отрицательным. Это означает, что узел В в горизонтальном направлении перемещается не влево, куда изначально была направлена единичная сила, а вправо, что соответствует физическому смыслу задачи.
Источник