Методы оптимальных решений

Ниже представлены выполненные контрольные работы по методам оптимальных решений (МОР). Вы можете скачать готовые файлы работ ниже по ссылкам, а также узнать подробнее о решении подобных заданий из любых сборников и методичек.

Готовые контрольные работы по МОР

ЗАДАНИЕ 1. ЛИНЕЙНОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ. СОСТАВЛЕНИЕ ОПТИМАЛЬНОГО ПЛАНА.
На предприятии «Старт» организуется побочный цех для использования оставшихся от основного производства материалов. Цех может освоить выпуск продукции двух видов: дверей и стульев. Эти виды продукции могут производиться в любых соотношениях (сбыт обеспечен), но количество рабочего времени, а также ресурсы основных материалов ограничены пределами, заданы в таблице.
Запланировать цеху ежемесячный план выпуска продукции, обеспечив при этом получение наибольшей прибыли.

ЗАДАНИЕ 2. ДИНАМИЧЕСКОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ. ОПТИМАЛЬНОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ РЕСУРСОВ МЕЖДУ ФИЛИАЛАМИ ПРЕДПРИЯТИЯ
Предприятие планирует открыть филиалы в Михайловке, Урюпинске и Котельниково, для чего выделяются средства в размере 5 млн. руб.
По расчетам экономистов, каждый филиал при инвестировании в него х млн. руб. приносит прибыль ?i(х) млн. руб. Эти данные приведены в таблице.
Необходимо выбрать оптимальное распределение выделенных средств между филиалами, обеспечивающее максимальную прибыльность всего проекта.

Построить симплексную таблицу ЗЛП при ограничениях.

Найти оптимальные стратегии игроков и цену игры, заданной матрицей. . Какому игроку выгодна эта игра?

Контрольная работа по МОР (производственная задача, производственная функция, функция полезности), 5 страниц
Показать задания

Задача 1. Предприятие производит продукцию двух видов (A и Б), используя при изготовлении этой продукции ресурсы трех видов (первого, второго и третьего). Чтобы произвести одну единицу продукции A, нужно затратить по 1 единице первого и второго ресурсов и 2 единицы третьего ресурса. Для производства единицы продукции Б требуется 2 единицы первого ресурса и 1 единица второго ресурса. Запасы ресурсов у предприятия ограничены: на складах есть 100 единиц первого ресурса, 60 единиц второго и 80 единиц третьего ресурса. Рыночная цена продукции A составляет 750 руб. а цена продукции Б равна 1000 руб. Сколько продукции следует произвести, чтобы получить наибольшую выручку?

Задача 2. Для производственной функции $Y=6K^<0.3>\cdot L^<0.8>$ определить оптимальное соотношение факторов $K, L$ в предположении, что цены использования факторов равны $C_K=4$ и $C_L=5$ соответственно. Найти эластичности выпуска $Y$ по производственным факторам; найти нормы замещения одного фактора другим.

Задача 3. Предпочтения некоторого потребителя описываются функцией полезности $U(x_1,x_2)$ где $x_1$ – количество первого блага в потребительском наборе, $x_2$ – количество второго блага в этом же наборе. Цена первого блага равна $C_1=2$ денежных единиц, цена второго блага равна $C_2=3$ денежных единиц, доход потребителя составляет $M=3000$ денежных единиц. В предположении, что потребитель весь доход расходует только на покупку этих двух благ, определить какое количество первого и второго блага следует покупать потребителю, чтобы достичь максимального уровня полезности?

Задача 1. Составить математическую модель задачи и решить ее двумя способами: симплекс-методом и графически. Для полученной задачи составить двойственную, и проверить оптимальность плана исходной задачи с помощью критериев оптимальности планов двойственных задач.
Для кормления животных требуется составить суточный рацион, обладающий определенной питательностью, а именно он должен содержать не менее b1 единиц микроэлементов, не менее b2 кормовых единиц и не более b3 единиц биостимуляторов. Вещества, входящие в рацион, не могут быть получены в чистом виде. Они содержатся в комбикормах двух видов I и II. Известно, что в одном килограмме комбикорма каждого вида содержится соответственно aij (i – 1, 2, 2; j = 1, 2) единиц каждого питательного вещества. Кроме того, известна себестоимость сj (j = 1,2) одного килограмма комбикорма каждого вида.
Виды питательных веществ Виды комбикормов Норма питательных веществ
I II
Микроэлементы A11 — 3 A12 — 1 B1 – 5
Кормовые единицы A21 — 1 A22 — 2 B2 – 5
Биостимуляторы A31 — 2 A32 — 7 B3 – 35
Себестоимость C1 — 2 C2 — 2
Требуется определить, сколько килограмм комбикорма каждого вида нужно взять для составления суточного рациона, чтобы он удовлетворял условиям питательности и имел бы наименьшую себестоимость.

Задача 2. Решить транспортную задачу. Заданы мощности поставщиков аi (i = 1, 2, 3), емкости потребителей bj (j = 1,2,3) и матрица (cij)i=1,2,3.j=1,2,3 стоимостей перевозок единицы продукции от каждого поставщика каждому потребителю. Требуется найти план перевозок, при котором суммарные транспортные затраты будут наименьшими.

Задача 3. Найти оптимальные стратегии и цену игры, заданной платежной матрицей А. Сделать проверку.

1. Определить методом множителей Лагранжа условные экстремумы функций:

2. Распределить Т=100 ден. ед. по четырем предприятиям с целью получения максимальной прибыли. Значения прироста продукции в зависимости от вложенных средств заданы таблицей.

3. Рассмотрим некоторое производство, которое описывается с помощью функции ПФКД. Основные фонды оцениваются в 50 млрд. руб., численность работников составляет 5000 человек. Средняя производительность труда z=50000 руб. Известно также, что для увеличения выпуска продукции на 2% требуется увеличить стоимость фондов на 4% или численность работников на 8%. Требуется построить для данного предприятия производственную функцию, определив коэффициенты эластичности.

4. Определить нижнюю и верхнюю цену игры и если возможно, седловую точку:

5. Найти оптимальные решения игроков в смешанных стратегиях.

6. На рынке представлены модели летних шин для автомобиля. Характеристики шин, учитывая тормозной путь, надежность управления на прямой и на поворотах, поперечное сцепление, цену и др., представлены следующими частными критериями. Необходимо выбрать модель шин.

Источник

Решение задач по методам оптимизации и МОР на заказ

В настоящие дни в образовательную программу специальностей, связанных с экономикой, финансами и менеджментом, входит дисциплина с названием «Методы оптимальных решений». В рамках данной дисциплины студенты изучают математическую сторону оптимизации, исследования операций, принятия решений и моделирования. Главная особенность данной дисциплины определяется совместным изучением математических методов с их приложением к решению экономических задач.

Задачи на оптимизацию: общие сведения

Если рассматривать общий случай, то смысл задачи на оптимизацию заключается в нахождении так называемого оптимального решения, которое максимизирует (минимизирует) целевую функцию при некоторых условиях-ограничениях.

В зависимости от свойств функций задачи на оптимизацию можно разделить на два вида:

• задача линейного программирования (все функции линейны);
• задача нелинейного программирования (хотя бы одна из функций не является линейной).

Частными случаями задач на оптимизацию являются задачи дробно-линейного, динамического и стохастического программирования.

Наиболее изученными задачами на оптимизацию являются задачи линейного программирования (ЗЛП), решения которых принимают только целочисленные значения.

ЗЛП: формулировка, классификация

Задача линейного программирования в общем случае состоит в нахождении минимума (максимума) линейной функции при некоторых линейных ограничениях.

Общей ЗЛП называют задачу вида

где — переменные, — заданные действительные числа, — целевая функция, — план задачи, (*)-(***) — ограничения.

Важной особенностью ЗЛП является то, что экстремум целевой функции достигается на границе области допустимых решений.

Практическое экономическое приложение методы оптимальных решений находят при решении задач следующих видов:

• задачи о смесях (т.е. планирование состава продукции);
• задачи оптимального распределения ресурсов в производственном планировании;
• транспортные задачи.

ЗЛП: примеры

Далее приведем общую формулировку задач каждого вида и методы их решения.

Задача о смесях

Решение задачи о смесях состоит в отыскании наиболее дешевого набора, состоящего из определенных исходных материалов, которые обеспечивают получение смеси с заданными свойствами.

Задача о распределении ресурсов

Предприятие осуществляет выпуск n различных изделий, для производства которых требуется m различных видов ресурсов. Запасы используемых ресурсов ограничены и составляют соответственно b₁, b₂,…, b_m у.е. Кроме того, известны технологические коэффициенты a_ij, которые показывают какое количество единиц i-го ресурса необходимо для производства одной единицы изделия j-го вида (). Прибыль, которую получает предприятие при реализации изделия j-го вида, составляет c_j ден.ед. Необходимо составить план выпуска продукции, прибыль предприятия при реализации которого будет наибольшей.

Условия задач о смесях и распределении ресурсов часто записываются в виде таблиц.

Ресурсы	Потребности			Запасы
	B1	…	Bn
A1	b1
…	…
Am	bm
Прибыль	c1	…	cn

Задачи о смесях и распределении ресурсов можно решить несколькими способами:

• графический метод (в случае малого числа переменных в математической модели);
• симплекс-метод (в случае числа переменных в математической модели больше двух).

Транспортная задача

К транспортной задаче относится класс задач, которые имеют определенную специфическую структуру. Простейшей транспортной задачей является задача о перевозках продукта в пункты назначения из пунктов отправления при минимальных затратах на перевозку всех продуктов.

Для наглядности и удобства восприятия условие транспортной задачи принято записывать в таблицу следующего вида:

В общем случае решение транспортной задачи выполняется в несколько этапов:

• I этап: построение первоначального опорного плана;
• II этап: проверка опорного плана на оптимальность;
• III этап: уточнение опорного плана, если он не является оптимальным.

Существует несколько методов получения первоначального опорного плана, например, метод северо-западного угла, метод Фогеля, метод минимальных стоимостей.

Проверка плана на оптимальность выполняется с применением метода потенциалов:

Если план не является оптимальным, то выполняется построение цикла и перераспределение перевозок.

Заключение

В рамках одной статьи нет возможности охватить всю теорию и практику методов оптимальных решений, поэтому рассмотрены только некоторые моменты, позволяющие дать общее представление о данной дисциплине, задачах и методах их решения.

Кроме того, неплохо отметить, что для проверки полученных решений задач оптимизации можно очень эффективно применять надстройку «Поиск решения» пакета MS Excel. Но это уже другая история, собственно, как и подробное рассмотрение методов решения задач на оптимизацию.

Приведем несколько учебников для изучения методов оптимального решения:

1. Банди Б. Основы линейного программирования: Пер. с англ. – М.: Радио и связь, 1989. – 176 с.
2. Кремер Н.Ш. Исследование операций в экономике: Учеб. пособие для вузов /Н.Ш. Кремер, БА. Путко, И.М. Тришин, М.Н. Фридман; Под ред. проф. Н.Ш. Кремера. – М.: ЮНИТИ, 2005. – 407 с.

Решение методов оптимизации на заказ

Мы можем помочь вам с решением любых задач по методам оптимальных решений. Заказать решение задач можно у нас на сайте. Достаточно лишь указать срок и прикрепить файл с заданием. Узнать цену вашего заказа можно бесплатно.

Источник

Методы оптимальных решений

Пример про стирку

В нашей жизни часто возникают задачи, в которых нужно не просто найти «любое решение» (которое, как раз, достаточно легко найти), а «наилучшее» из возможных решений. Приведем пример. Допустим, у нас есть стиральная машина, в которую можно загрузить 6 килограмм белья. И есть наборы белья, весом 1,2,4,5,6 килограмм. Каждый набор необходимо стирать только целиком. Требуется составить программу стирки наилучшим образом.

Тут мы явно видим, что «какое-то» решение найти очень просто. Например, будем брать наборы белья по-порядку:

Номер стирки	Какие наборы берем в стирку	Сколько кг белья стираем в этот раз
1	1+2	3
2	4	4
3	5	5
4	6	6

Итого, мы запустим стиральную машину 4 раза. Решение? Вполне себе решение. И вполне себе можно так и сделать — постирать 4 раза, и задача будет решена.

Но нам-то нужно именно «лучшее» решение. Будет ли наше решение, в котором мы стираем 4 раза лучшим? А вдруг можно так перетасовать белье, чтобы стирать 3 раза? Или даже 2 раза? На самом деле, в 3 раза вполне можно уложиться:

Номер стирки	Какие наборы берем в стирку	Сколько кг белья стираем в этот раз
1	6	6
2	2+4	6
2	1+5	6

Это решение будет оптимальным — ведь за два раза можно постирать максимум $2\cdot6=12$ килограмм, а у нас $1+2+4+5+6=18$.

Задачи оптимизации

Такие задачи, где нужно найти наилучшее решение из возможных, называются задачами оптимизации. В таких задачах, как правило, выделяют два аспекта:

1. Ограничения — это то, что ограничивает наши решения. Например, в нашей задаче мы не могли постирать все белье сразу, оно не влезло бы в стиральную машину. Поэтому максимальный объем белья в стиральной машине в нашем случае является ограничением. Как правило ограничения записываются в виде равенств или неравенств. В нашем случае это неравенство «количество белья, которое мы можем постирать за раз должно быть МЕНЬШЕ ИЛИ РАВНО 6 килограммам».
2. Целевая функция — это некоторое числовое значение, которое показывает, насколько хорошо мы решили задачу. В нашем случае это количество стирок. Чем оно меньше, тем лучше. То есть, говоря по математически, число стирок, то есть целевую функцию, нужно «минимизировать». Иногда наоборот, целевую функцию необходимо максимизировать, сделать как можно больше — например, если целевая функция это прибыль предприятия от продажи товаров. Предприятие всегда стремится заработать как можно больше.

Такие задачи называются задачи оптимизации, а область математики, которая ищет ответы на такие задачи называется «Математическим программированием» (Изучается в курсах «Исследование операций», «Методы оптимальных решений» и т.п.).

Как правило, такие задачи приходят к нам именно из жизни, как задача, приведенная выше. Среди самых распространенных задач оптимизации, пришедших из жизни можно выделить следующие.

Основные типы оптимизационных задач

• Производственная задача — существует некоторое предприятие, которое может выпускать некоторые изделия. На то, чтобы их выпустить необходимы различные ресурсы. Задано, сколько и каких ресурсов необходимо для каждого изделия, задано сколько ресурсов у нас имеется, и задано, сколько предприятие выручит за продажу произведенных изделий. Необходимо выбрать, какие изделия и в каком количестве выпускать, чтобы прибыль предприятия была максимальной.
• Транспортная задача — существуют несколько предприятий, производящих некий ресурс, и существуют предприятия, которые его потребляют. Задано сколько единиц ресурса производит или потребляет каждое предприятие. Задано расстояние между каждым поставщиком и каждым потребителем ресурса. Необходимо перевезти ресурс от поставщиков к потребителям, чтобы при этом затратить как можно меньше бензина (то есть, проехать как можно меньше километров)
• Задача об инвестициях — существует некоторое количество предприятий, в которые можно вложить инвестиции. Задана максимальная сумма инвестиций, и задана прибыль, которую можно получить, если вложить некоторое количество денег в какое-либо предприятие. Необходимо выбрать, сколько денег вложить в каждое предприятие, чтобы итоговая прибыль была максимальной
• Задача о назначениях — существует некоторое количество людей, и некоторое количество работ, которые необходимо выполнить. Задано, какую стоимость нужно будет заплатить каждому человеку за выполнение каждой работы. Необходимо выбрать, какому человеку какую работу дать, чтобы все работы были выполнены, и необходимо было заплатить как можно меньше
• Задача коммивояжера — существует некоторое количество городов, и указаны все расстояния между городами. Некому «коммивояжеру» необходимо посетить все города по одному разу (не заходя в один город дважды), при этом ему нужно передвигаться как можно меньше
• Задача о ранце — существует некий ранец заданного объема. Также существует набор предметов, для каждого из которых задан их объем, и стоимость. Необходимо так наполнить ранец, чтобы все предметы в него влезли по объему, и их стоимость была максимальной

Если задача математического программирования пришла из жизни, то ее решением занимается дисциплина «Исследование операций». Именно она решает задачи из вышеприведенного списка.

Линейное и нелинейное программирование

Кроме этого, задачи математического программирования делятся на два больших класса:

1. Если в задаче как ограничения, так и целевая функция представляют собой линейные функции, то есть, многочлены первой степени, то такая задача называется задачей линейного программирования. Например, если в нашей задаче про стирку мы обозначим количество взятых наборов №1, 2, 3, 4, 5 за $x_1$, $x_2$, $x_3$, $x_4$, $x_5$, то количество итоговых килограмм должно получиться меньше или равно шести. То есть, $x_1+2x_2+4x_3+5x_4+6x_5\leq6$. Это ограничение линейно. Тем не менее, полностью нашу задачу за задачу линейного программирования принять нельзя, так как линейной должна быть еще и целевая функция, кроме того у нас есть неявное условие, что переменные $x_1-x_5$ должны принимать только значения $0$ (мы не берем набор) или $1$ (мы берем набор), а это ограничение нельзя записать в линейной форме.
2. Если в задаче либо оганичения, либо целевая функция (либо и то, и другое) выражены в каком-либо другом виде, то данная задача называется задачей нелинейного программирования. Например, так было бы, если бы наше ограничение имело вид $x_1+3x_2^2+5x_3^3+10x_4^4+\sin(x_5)\geq100$

Задачи линейного программирования решаются, как правило, гораздо легче и быстрее, чем задачи нелинейного программирования. Поэтому мы и рассмотрим их в первую очередь.

В следующем разделе мы рассмотрим самую часто встречающуюся задачу линейного программирования — производственную задачу, и методы, которые позволяют ее решать. Однако, на самом деле, теми же самыми методами, как мы убедимся позднее, можно решить и любую другую задачу линейного программирования.

Источник