ПроСопромат.ру
Технический портал, посвященный Сопромату и истории его создания
Определение перемещений. Метод О. Мора в сочетании со способом (формулой) Симпсона
Для определения любого перемещения (линейного или углового) в методе Мора балка рассматривается в двух состояниях: действительном и вспомогательном. Вспомогательное состояние получается следующим образом: сначала всю заданную нагрузку нужно удалить, затем приложить «единичный силовой фактор» в том месте, где требуется определить перемещение, и по направлению этого искомого перемещения. Причем, когда определяем линейное перемещение (прогиб балки), то в качестве «единичного силового фактора» принимается сосредоточенная сила 
, а если требуется найти угол поворота, то приложить следует сосредоточенную пару 
.
Далее в одном и том же произвольном сечении обоих состояний (то есть и действительного, и вспомогательного) составляются аналитические выражения изгибающего момента, которые подставляются в формулу, называемую «интегралом Мора»:
где: знак Σ распространяется на все участки балки,
а EI – изгибная жесткость на участке.
Во многих случаях интегрирования по Мору можно избежать и применить способ «перемножения» эпюр. Одним из таких способов является способ Симпсона, по которому значение интеграла Мора на участке длиной ℓ вычисляется по следующей формуле:
Здесь обозначено: a, b и с – соответственно крайние и средняя ординаты эпюры изгибающих моментов действительного состояния М,
— крайние и средняя ординаты эпюры изгибающих моментов, но только вспомогательного состояния .
Правило знаков: если обе «перемножаемые» ординаты в двух эпюрах расположены по одну сторону от оси эпюры (то есть они одного знака), то перед их произведением мы должны поставить знак «плюс: а если они по разные стороны от оси эпюры, то перед произведением ставим знак «минус».
Следует иметь в виду, что способы «перемножения» эпюр (кроме способа Симпсона известен еще способ Верещагина) применимы только при наличии двух условий:
- Изгибная жесткость балки на рассматриваемом участке должна быть постоянной (EI=Const),
- Одна из двух эпюр моментов на этом участке
должна быть обязательно линейной. При этом обе эпюры не должны в пределах данного участка иметь перелома.
должна быть обязательно линейной. При этом обе эпюры не должны в пределах данного участка иметь перелома.При наличии нескольких участков на балке, удовлетворяющих указанным двум условиям, формула для определения перемещений принимает вид:
Если результат вычисления получается положительным, то, следовательно, направление искомого перемещения совпадает с направлением «единичного силового фактора» ( 
), а если результат отрицательный, значит искомое перемещение происходит в направлении, противоположном этому фактору.
Формула Симпсона, записанная через моменты, выглядит следующим образом: перемещения (прогиб или угол поворота) равны
где li – длина участка;
EIi – жесткость балки на участке;
MF – значения изгибающих моментов с грузовой эпюры, соответственно в начале, в середине и в конце участка;
– значения изгибающих моментов с единичной эпюры, соответственно в начале, в середине и в конце участка.
При перемножении эпюр будет полезным для определения ординат эпюр изгибающих моментов:
Задача
Определить угол поворота сечения на левой опоре φА
1) Находим опорные реакции действительного состояния 
.
2) Строим эпюру моментов действительного состояния М.
3) Выбираем вспомогательное состояние для определения угла поворота φА.
4) Находим опорные реакции вспомогательного состояния
«Реагируем» на знак «минус».
5) Строим эпюру моментов вспомогательного состояния:
6) «Перемножаем» эпюры 
Поскольку одна из них (а именно 
) линейна на всем пролете и не имеет перелома, а эпюра М тоже без перелома, то в формуле Симпсона будет всего один участок, и тогда
Знак «плюс» говорит о том, что сечение А поворачивается в сторону «единичного момента» 
Источник
Определить прогиб балки метод мора
Вывод основной формулы. Определение прогибов. Пусть к балке в точке 
(рис. 20) приложена сила Р, которая равна единице (единичная сила). Если сообщить балке некоторый дополнительный прогиб у, то работа внешней силы у (а) будет равна работе внутренних сил упругости 
.
Обозначим изгибающий момент в сечении стержня от действия единичной силы 
. Пусть 
— относительный поворот двух близких сечений, возникший в результате дополнительного прогиба у балки. Тогда работа внутренних сил (работа деформации, рис. 21)
Приравнивая работы внешних и внутренних сил, получаем
Уравнение (40) должно быть справедливым для произвольного (малого) прогиба стержня.
Предположим теперь, что в качестве у рассматривается прогиб от внешней нагрузки.
где 
— изгибающий момент в сечении от действия внешней нагрузки.
Подставляя отсюда значение 
в соотношение (40), получаем основную расчетную формулу (интеграл Мора)
Следовательно, чтобы найти прогиб в данном сечении стержня, надо приложить единичную силу в этом сечении, определить изгибающий момент 
от единичной силы и вычислить интеграл (41).
Величина 
в 
, так как в равенстве (41) сокращен множитель 1 Н. Единичный силовой фактор при использовании интеграла Мора
Рис. 21. Работа внутренних силовых факторов
следует считать безразмерной величиной (момент от единичной силы имеет размерность длины).
В большинстве практических задач интеграл Мора определяют с помощью правила Верещагина (см. ннже).
В общем случае интеграл Мора может быть вычислен по правилу трапеций. Равенство (41) справедливо и для упругопластических деформаций, если соответствующим образом определить 
Если требуется учесть влияние перерезывающей силы на прогиб, то уравнение (40) будет иметь вид
где 
— угол сдвига [см. формулу (32)]; 
— перерезывающая сила в сечении от действия единичной силы.
Вместо равенства (41) будем иметь
Второй член в этой формуле выражает прогиб от действия перерезывающей силы.
Преимущества определения перемещения с помощью интеграла Мора особенно сказываются для стержней с непрямолинейной осью. Пусть, например, требуется найти проекцию перемещения точки А (рис. 22) на направление I—I, причем следует учесть влияние изгибающих моментов, перерезывающих и нормальных сил.
Повторяя предыдущие рассуждения,
Рис. 22. Изгиб Г-образного стержня
Найдем проекцию перемещения точки приложения единичной силы на ее направление:
где 
— изгибающий момент, перерезывающая и нормальная силы в сечении стержня от действия единичной силы, 
— то же в поперечном сечении от действия внешних 
Интегрирование распространяется на всю длину осн стержня, элемент длины обозначается 
Определение углов поворота. Формула для определения углов поворота выводится так же, как соотношение (44). В сечении, где определяют угол поворота, прикладывают единичный момент (рис. 23). Работа момента будет 
.
В соответствии с этим
В этом равенстве 
— изгибающий момент в сечении стержня от действия единичного момента.
Рис. 23. (см. скан) Работа единичного момента
Вычисление интеграла Мора по правилу Верещагина. Изгибающий момент от внешней нагрузки и изгибающий момент от единичной силы (момента) определяют по одному правилу знаков (например, момент считают положительным, если он создает сжатие верхнего волокна).
Если при вычислении интеграла (41) или (45) получается отрицательная величина, это означает, что действительный прогиб или угол поворота сечения направлен в сторону, противоположную направлению соответственно единичной силы или единичного момента.
Эпюра изгибающих моментов от единичной силы или единичного момента состоит из отрезков прямых. Рассмотрим участок стержня в пределах от до 
(рис. 24).
Предположим, что изгибающий момент от единичной нагрузки выражается равенством
где А и В — некоторые числа. Тогда интеграл Мора на рассматриваемом участке
Рис. 24. К выводу правила Верещагина
Предположим, что жесткость стержня на изгиб в пределах участка постоянна, и учтем, что
где 
— площадь эпюры изгибающих моментов от внешних сил.
Далее следует прииить во внимание, что
так как интеграл представляет собой статический момент площади 
, а гц — абсцисса центра тяжести площади 
Формула (48) справедлива в том случае, когда величина 
имеет постоянный знак в пределах участка.
Используя соотношение (48), получим из равенства (47)
Рис. 25. (см. скан) Ограничения для применения правила Верещагина
где 
— момент от единичной нагрузки в сечении гц.
Следовательно, интеграл Мора в пределах участка равен произведению площади эпюры моментов от внешних сил на ординату эпюры от единичной нагрузки в сечении, соответствующем центру тяжести этой площади, деленному на жесткость стержня на изгиб (правило Верещагина).
1. Площадь и положение центра тяжести эпюр
Ограничения для применения правила Верещагина. 1. Эпюра изгибающего момента от единичной нагрузки должна быть в виде одной прямой линии. На рис. 25, а показан случай, когда это условие не соблюдается. Интеграл необходимо вычислять отдельно для участков I и II.
2. Изгибающий момент от внешней нагрузки в пределах участка должен иметь один знак. На рис. 25, б показан случай, когда правило Верещагина следует применять для каждого из двух участков в отдельности.
Ограничение не распространяется на момент от единичной нагрузки.
3. Жесткость стержня на изгиб в пределах участка должна быть постоянна. На рис. 25, в приведен случай, когда интеграл нужно вычислить отдельно для участков 
и II. Вспомогательные данные для применения правила Верещагина приведены в табл. 1.
Если эпюра от внешних силовых факторов на данном участке является линейной (например, при действии сосредоточенных сил и моментов), то равенство (46) можно использовать для момента 
и тогда, повторяя вывод, найдем
где 
— площадь эпюры моментов от единичной нагрузки; 
— ордината эпюры моментов от внешних нагрузок в сечении, соответствующем центру тяжести площади эпюры моментов от
единичной иагрузкн. Все ограничения, указанные выше для формулы (49), соответствующим образом переносятся на формулу (50).
Источник