Вычисление интегралов мора по способу верещагина
Вычисление интегралов мора по способу верещагина
- Расчет Интеграла по методу Мора Верещагина Если один из графиков (фактические состояния или единицы измерения) является прямой линией, вычисление интеграла моля значительно упрощается. Это условие, поскольку участок от одной нагрузки (концентрации или пары) всегда ограничен прямой линией, всегда выполняется для
системы, состоящей из прямых стержней. Вычислите Интеграл^M (A4pdx), если график от заданной нагрузки имеет произвольную форму и от единиц измерения — 380-прямая (рис. 377). Представляет площадь участка M g\s-его центроид, MS-вертикальная ось участка от единичной нагрузки под центроидом участка Mr Mpdx=dQ-дифференциальная область участка Mr, L4 Людмила Фирмаль
(13.59)представляет собой статический момент площади участка Mr для оси o-o: XdQ Дж. =х^г, / Где УГ-это абсцисса центра тяжести МР сюжет. В этом случае MtM Pdx = tg ahgy= = YL4G, (13.60) j Я Потому что… Таким образом, Интеграл Мора является свойством участка от внешней нагрузки в ординате линейного участка от единичной нагрузки, расположенной ниже центроида участка от заданной
внешней нагрузки. Общая формула перемещения для системы линейных элементов (13.46) имеет вид (13.61) Описывается графоаналитический метод вычисления интеграла Mora. II. It предложен Верещагиным и называется методом Верещагина. Расчет по этой формуле проводится на каждом участке, где участок от единичной загрузки должен быть линейным(рис. 378). Если оба участка прямые, вы можете умножить любую область на ординату
- другой под первым центроидом. Если участок M R имеет сложную форму, то его следует разбить на простые фигуры(рис. 379), ибо легче определить площадь и расположение центра тяжести. В этом случае каждая область умножается на ординату единичного участка, которая находится ниже центроида соответствующей области. В этом случае удобно указать вместо символа MEK G)L, k-1;2;… 3s1 следующим образом* (13.62) Рассматривая крутящий момент в общем случае нагрузки, знаменатель уравнения соответствующего члена (13.61) содержит жесткость на кручение GJ Если участок Mr противоположе
н знаку, то результат умножения участка имеет знак минус. Метод умножения участка Верещагина широко используется при расчете каркасной конструкции (угол на границе раздела отдельных стержней, жесткость до деформации, затем остается жесткой). В данной работе рассматривается применение метода Верещагина для определения перемещений в различных стержневых системах. Определите отклонение точки D и угол поворота сечения в консоли (рис. 380, а). Соответствующее вспомогательное (единичное) состояние показано на рисунке. 380, Б, В. Изгибающий момент в точке D по Верещагину строит диаграмму прогиба m pH m s Площадь участка равна(2=qa3.
Центр тяжести этой области окружен вторичной параболой вида (рис. 380, а) находится Людмила Фирмаль
на расстоянии — ^ — от точки в, в чем легко убедиться, применив формулу (2.3). Вертикальная ось вспомогательного участка L4c1=a. BD Q=0 на сайте. Итак, qa *
EG Для определения угла поворота вспомогательная система загружается одной парой. Очевидно, MS2-1. Следовательно, угол поворота секции л У1 2P-EJ
SEJ • Триста восемьдесят один рис Определим полное перемещение точек из кадра, показанного на рисунке. 381, и, предполагая EJ=const. A = вычислить вертикальное и горизонтальное смещения данной точки для определения полного смещения ПЗС. Для определения вертикального перемещения точки с Рама во вспомогательном состоянии нагружается силой x=1, направленной вертикально(рис. 381, б). Основной сюжет Mr показан на рисунке. 381, g, aux Mi-на фиг. 381, д.,
Расчет производится на сайте: SV site Й, = Т; ; Для управления АВ О2 = МХ\й=/. И так оно и есть., Для определения горизонтального перемещения вспомогательной системы горизонтальная сила x2=1(Рис. 381, в). Участок м2 показан на рисунке. 381, е. 383evidentally SV vertical on the site=0, а AV на сайте Vertical t) 2= » gr., Но __Mh2^2Р»
2е Г’ Идеальное смещение пятна от рамки A=D(R+DGR Попробуем определить изменение расстояния между точками кадров, показанных на рисунке. 382, a. график изгиба a и B на мгновение из Данная нагрузка M P показана на рисунке. 382, b.
In вспомогательное состояние, нагружающее систему обобщенной нагрузкой, соответствующей требуемому перемещению (фиг. 382, Б) 1. Такие нагрузки бывают Это единственные силы концентрации, которые действуют в этих точках. Участки Mr и Mi были построены на сжатом волокне. Иметь
8′ _________MS=а. Чтобы уменьшить число фигур 1, в некоторых будущих примерах участок строится непосредственно на оси стержня. 384 противоречия, Но L/R QMC RRA EJ8EJ — Определим падение сломанного консольного свободного конца круглого сечения, нагруженного в сечение АВ вертикальной равномерной распределенной нагрузкой(рис. 383, а).
Диаграммы изгиба и крутящего момента основного и вспомогательного состояний показаны на рисунке. 383, Б, г. График крутящего момента размещен на горизонтальной плоскости, его координаты представлены пунктирной линией.: Лл / ρ=>1Т^3Т г+,-Y1T1?Л г/2; Т2(т+
Изучу , оценю , оплатите , через 2-3 дня всё будет на «4» или «5» !
Откройте сайт на смартфоне, нажмите на кнопку «написать в чат» и чат в whatsapp запустится автоматически.
Образовательный сайт для студентов и школьников
Копирование материалов сайта возможно только с указанием активной ссылки «www.lfirmal.com» в качестве источника.
© Фирмаль Людмила Анатольевна — официальный сайт преподавателя математического факультета Дальневосточного государственного физико-технического института
Источник
Правило (способ, метод) Верещагина
Недостатком метода Мора является необходимость получать значения внутренних силовых факторов, входящих в подинтегральные выражения формул (2.18) и (2.19), в общем виде, как функций от z, что становится достаточно трудоемким уже при двух – трех участках разбиения в балках и особенно – в рамах.
Оказывается, что от этого недостатка можно уйти, если непосредственное интегрирование в формулах Мора заменить так называемым перемножением эпюр. Такая замена возможна в тех случаях, когда хотя бы одна из перемножаемых эпюр является прямолинейной. Этому условию соответствуют все системы, состоящие из прямолинейных стержней. Действительно, в таких системах эпюра, построенная от обобщенной единичной силы, всегда будет прямолинейной.
Способ вычисления интеграла Мора путем замены непосредственного интегрирования перемножением соответствующих эпюр называется способом (или правилом) Верещагина и заключается в следующем: чтобы перемножить две эпюры, из которых хотя бы одна является прямолинейной, нужно площадь одной эпюры (если есть криволинейная эпюра, то обязательно ее площадь) умножить на ординату другой эпюры, расположенную под центром тяжести первой.
Докажем справедливость этого правила. Рассмотрим две эпюры (рис.28). Пусть одна из них (Mn) является грузовой и имеет криволинейное очертание, а вторая 
соответствует единичной нагрузке и является линейной.
Из рис.28 следует, что 
Подставим значения 
в выражение 
где 
— дифференциал площади 
эпюры Mn.
Рис. 28
Интеграл 
представляет собой статический момент площади 
относительно оси О – О1, при этом: 
где zc – абсцисса центра тяжести площади 
, тогда: 
Учитывая, что 
получим:
(2.20)
Выражение (2.20) определяет результат перемножения двух эпюр, а не перемещения. Чтобы получить перемещение, этот результат нужно разделить на жесткость, соответствующую внутренним силовым факторам, стоящим под знаком интеграла.
Основные варианты перемножения эпюр
Очевидно, что разнообразие приложенных нагрузок и геометрических схем конструкций приводит к различным, с точки зрения геометрии, перемножаемым эпюрам. Для реализации правила Верещагина нужно знать площади геометрических фигур и координаты их центров тяжести. На рис.29 представлены некоторые основные варианты, возникающие в практических расчетах.
Для перемножения эпюр сложной формы их необходимо разбивать на простейшие. Например, для перемножения двух эпюр, имеющих вид трапеции, нужно одну из них разбить на треугольник и прямоугольник, умножить площадь каждого из них на ординату второй эпюры, расположенную под соответствующим центром тяжести, и результаты сложить. Аналогично поступают и для умножения криволинейной трапеции на любую линейную эпюру.
Если указанные выше действия проделать в общем виде, то получим для таких сложных случаев формулы, удобные для использования в практических расчетах (рис.30). Так, результат перемножения двух трапеций (рис.30,а):
(2.21)
Рис. 29
По формуле (2.21) можно перемножить и эпюры, имеющих вид «перекрученных» трапеций (рис.30,б), но при этом произведение ординат, расположенных по разные стороны от осей эпюр, учитывается со знаком минус.
Если одна из перемножаемых эпюр очерчена по квадратной параболе (что соответствует нагружению равномерно распределенной нагрузкой), то для перемножения со второй (обязательно линейной) эпюрой ее рассматривают как сумму (рис.30,в) или разность (рис.30,г) трапециидальной и параболической эпюр. Результат перемножения в обоих случаях определяется формулой:
(2.22)
но значение f при этом определяется по-разному (рис. 30, в, г).
Рис. 30
Возможны случаи, когда ни одна из перемножаемых эпюр не является прямолинейной, но хотя бы одна из них ограничена ломаными прямыми линиями. Для перемножения таких эпюр их предварительно разбивают на участки, в пределах каждого из которых по крайней мере одна эпюра являетя прямолинейной.
Рассмотрим использование правила Верещагина на конкретных примерах.
Пример 15. Определить прогиб в середине пролета и угол поворота левого опорного сечения балки, нагруженной равномерно распределенной нагрузкой (рис.31,а), способом Верещагина.
Последовательность расчета способом Верещагина – такая же, как и в методе Мора, поэтому рассмотрим три состояния балки: грузовое – при действии распределенной нагрузки q; ему соответствует эпюра Mq (рис.31,б), и два единичных состояния — при действии силы 
приложенной в точке С (эпюра 
, рис.31,в), и момента 
, приложенного в точке В (эпюра 
, рис.31,г).
Прогиб балки в середине пролета:
.
Аналогичный результат был получен ранее методом Мора (см. пример 13). Следует обратить внимание на тот факт, что перемножение эпюр выполнялось для половины балки, а затем, в силу симметрии, результат удваивался. Если же площадь всей эпюры Mq умножить на расположенную под ее центром тяжести ординату эпюры 
(
на рис.31,в), то величина перемещения будет совершенно иной и неправильной так как эпюра 
ограничена ломаной линией. На недопустимость такого подхода уже указывалось выше.
А при вычислении угла поворота сечения в точке В можно площадь эпюры Mq умножить на расположенную под ее центром тяжести ординату эпюры 
(
, рис.31,г), так как эпюра 
ограничена прямой линией:
Этот результат также совпадает с результатом, полученным ранее методом Мора (см. пример 13).
Рис. 31
Пример 16. Определить горизонтальное и вертикальное перемещения точки А в раме (рис.32,а).
Как и в предыдущем примере, для решения задачи необходимо рассмотреть три состояния рамы: грузовое и два единичных. Эпюра моментов MF, соответствующая первому состоянию, представлена на рис.32,б. Для вычисления горизонтального перемещения прикладываем в точке А по направлению искомого перемещения (т.е. горизонтально) силу 
, а для вычисления вертикального перемещения силу 
прикладываем вертикально (рис.32,в,д). Соответствующие эпюры 
и 
показаны на рис.32,г,е.
Горизонтальное перемещение точки А:
При вычислении 
на участке АВ трапеция (эпюра MF) разбита на треугольник и прямоугольник, после чего треугольник с эпюры 
«умножен» на каждую из этих фигур. На участке ВС криволинейная трапеция разделена на криволинейный треугольник и прямоугольник, а для перемножения эпюр на участке СД использована формула (2.21).
Знак » — «, полученный при вычислении 
, означает, что точка А перемещается по горизонтали не влево (в этом направлении приложена сила 
), а вправо.
Вертикальное перемещение точки А:
Здесь знак » — » означает, что точка А перемещается вниз, а не вверх.
Отметим, что единичные эпюры моментов, построенные от силы 
, имеют размерность длины, а единичные эпюры моментов построенные от момента 
, являются безразмерными.
Пример 17. Определить вертикальное перемещение точки А плоско-пространственной системы (рис.33,а).
Рис.23
Как известно (см. гл.1), в поперечных сечениях стержней плоско-пространственной системы возникают три внутренних силовых фактора: поперечная сила Qy, изгибающий момент Mx и крутящий момент Mкр. Так как влияние поперечной силы на величину перемещения незначительно (см. пример 14, рис.27), то при вычислении перемещения методом Мора и Верещагина из шести слагаемых остаются только два.
Для решения задачи построим эпюры изгибающих моментов Mx,q и крутящих моментов Мкр,q от внешней нагрузки (рис.33,б), а затем в точке А приложим силу 
по направлению искомого перемещения, т.е. вертикального (рис.33,в), и построим единичные эпюры изгибающих моментов 
и крутящих моментов 
(рис.33,г). Стрелками на эпюрах крутящих моментов показаны направления закручивания соответствующих участков плоско-пространственной системы.
Вертикальное перемещение точки А:
При перемножении эпюр крутящих моментов произведение берется со знаком «+», если стрелки, указывающие направление кручения, сонаправленны, и со знаком » — » – в противном случае.
Источник